Anillo Diferencial (en radio $a$)
Radio $a$: ... m
Carga $dq$: ... C
Campo $|d\vec{E}|$: ... N/C
Campo Total (Integrado de $r_1$ a $r_2$)
Carga Total $Q$: ... C
Campo $|\vec{E}_{total}|$: ... N/C
1. Campo de un Arco Delgado
El campo en el centro de un arco de radio $a$ y apertura $\alpha$ es:
$$d\vec{E} = \frac{2 k_e \lambda}{a} \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) (-\hat{i})$$
2. Anillo Diferencial
Para un anillo delgado de grosor $da$, la densidad lineal $\lambda$ es $\sigma da$. Sustituyendo en la fórmula anterior, obtenemos el campo del anillo:
$$d\vec{E} = \frac{2 k_e (\sigma da)}{a} \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) (-\hat{i})$$
3. Integral para el Campo Total
Integramos el campo $dE$ de todos los anillos desde $r_1$ hasta $r_2$. Los términos constantes salen de la integral:
$$\vec{E} = 2 k_e \sigma \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \int_{r_1}^{r_2} \frac{da}{a} \, (-\hat{i})$$
4. Resultado Final
$$\vec{E} = 2 k_e \sigma \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right) (-\hat{i})$$