Valores del Anillo Diferencial (en radio $a$)
Carga del anillo $dq$: ... C
Campo del anillo $|d\vec{E}|$: ... N/C
Valores Totales del Disco
Carga Total $Q$: ... C
Campo Total $|\vec{E}_{total}|$: ... N/C
1. Estrategia: Dividir y Vencerás
Tratamos el disco como una colección de infinitos anillos concéntricos. El campo de un anillo de radio $a$ y carga $dq$ ya lo conocemos:
$$d\vec{E} = \frac{k_e x_0 dq}{(a^2 + x_0^2)^{3/2}} \hat{i}$$
2. Carga del Anillo Diferencial ($dq$)
La carga $dq$ del anillo es la densidad superficial $\sigma$ por su área $dA$. El área de un anillo delgado es su circunferencia ($2\pi a$) por su grosor ($da$).
$$dq = \sigma dA = \sigma (2\pi a \, da)$$
3. Sustitución e Integración
Sustituimos $dq$ en la fórmula de $dE$ y sumamos (integramos) los campos de todos los anillos, desde el centro ($a=0$) hasta el borde ($a=R$).
$$\vec{E} = \int_{0}^{R} \frac{k_e x_0 (\sigma 2\pi a \, da)}{(a^2 + x_0^2)^{3/2}} \hat{i}$$
4. Resultado Final
Resolviendo la integral (con sustitución $u=a^2+x_0^2$), obtenemos el campo total del disco:
$$ \vec{E} = 2\pi k_e \sigma \left( 1 - \frac{x_0}{\sqrt{R^2 + x_0^2}} \right) \hat{i} $$
Tips Conceptuales
- Cerca del disco ($x_0 \ll R$): El término de la raíz se hace pequeño y el campo se aproxima a $2\pi k_e \sigma$. ¡Es casi constante!
- Lejos del disco ($x_0 \gg R$): El disco se comporta como una carga puntual $Q = \sigma \pi R^2$. La fórmula se simplifica a $E \approx k_e Q / x_0^2$.
Desafío: El Plano Infinito
Un resultado fundamental es que el campo de un plano infinito de carga es constante y vale $E = \sigma / (2\epsilon_0) = 2\pi k_e \sigma$.
Simula un plano infinito:
- Maximiza el radio del disco ($R=3$ m).
- Minimiza la distancia $x_0$ (ej. $0.1$ m), de modo que $x_0 \ll R$.
- Observa el valor de $E_{total}$. ¿A qué valor se aproxima?
- Calcula $2\pi k_e \sigma$ con los valores del panel de datos y compara.