Valores del Disco Diferencial (en posición $x$)
Carga del disco $dq$: ... C
Campo del disco $|d\vec{E}|$: ... N/C
Valores Totales del Cilindro
Carga Total $Q$: ... C
Campo Total $|\vec{E}_{total}|$: ... N/C
1. Estrategia: Integrar Discos
Tratamos el cilindro como una suma de infinitos discos delgados de grosor $dx$. El campo de un disco de radio $R$ y carga $dq$ a una distancia $x_0$ es:
$$d\vec{E} = 2\pi k_e \sigma \left( 1 - \frac{x_0}{\sqrt{R^2 + x_0^2}} \right) \hat{i}$$
2. Variables del Problema
Un disco diferencial en la posición $x$ tiene una carga $dq = \rho dV = \rho (\pi R^2 dx)$. Su densidad superficial es $\sigma = dq/(\pi R^2) = \rho dx$. La distancia a P es $x_0 = x_1 - x$.
3. Sustitución e Integración
Sustituimos $\sigma$ y $x_0$ en la fórmula de $dE$ e integramos a lo largo de la longitud del cilindro, desde $x=0$ hasta $x=L$.
$$\vec{E} = \int_{0}^{L} 2\pi k_e (\rho dx) \left( 1 - \frac{x_1 - x}{\sqrt{R^2 + (x_1 - x)^2}} \right) \hat{i}$$
4. Resultado Final
La integral se resuelve en dos partes y el resultado final es:
$$ \vec{E} = 2\pi k_e \rho \left( L + \sqrt{R^2+(x_1-L)^2} - \sqrt{R^2+x_1^2} \right) \hat{i} $$